Я советую не читать левые, неизвестно кем написанные "популярные введения". Это может только ввести в заблуждение. В этом тексте первое, что попалось на глаза (я прокрутила в конец) -- вот такой более-менее бред:
"Обычно у поверхности две стороны, разделенных границей, которую надо пересечь, чтобы попасть с одной стороны на другую.
Другой пример односторонней поверхности – бутылка Клейна. Это замкнутая поверхность, но она не делит протранство на внутреннюю и внешнюю часть."

Есть хорошая популярная книжка -- Стинрод, Чинн "Топология. Первые шаги" (может, название немного путаю).

А слово "связность" имеет много разных смыслов, например, в дифференциальной геометрии тоже есть связность, и к связности топологической она не имеет отношения. Перегруженный термин.