Там, где принято разуваться, обычно недалеко от входа есть и место, где можно помыть ноги. Где не принято - ну так босые ноги не грязнее уличной обуви, обычно чище (грязь на подошвы не налипает).

В поликлинике давно не был. Там как нынче обходятся с обувью?