Математические терзания

[andrzejn]

Думаю, что из присутствующих никто советом помочь не сможет, поэтому просто записываю задачку на память.

Кривая в 3-мерном пространстве задана параметрическими уравнениями
x=X(a); y=Y(a); z=Z(a)
Необходимо найти такую функцию a=A(t), чтобы при её подстановке в исходные уравнения получить уравнения движения точки по кривой с постоянной скоростью:
x=X(A(t)); y=Y(A(t)); z=Z(A(t)); (dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²=const

Я понимаю, что в общем случае задача не решается и надо её считать численно. Но, может, для частного случая синусоид (X(a)=sin(K_Xa) и аналогично для других координат) найдётся общее аналитическое решение?

Comments

[marishia.livejournal.com]

ru_math?

ru_math

[andrzejn]

Не исключено. Хотя мне нужен не столько ответ, сколько удовольствие от процесса самостоятельного решения :)

Re: ru_math

[marishia.livejournal.com]

ну тады ой :)

[(Anonymous)]

(dx/da * da/dt)^2 + (dy/da * da/dt)^2 + (dz/da * da/dt)^2 = const
((dx/da)^2 + (dy/da)^2 + (dz/da)^2) * (da/dt)^2 = const
da/dt = const / sqrt((dx/da)^2 + (dy/da)^2 + (dz/da)^2)
Получили диф.уравнение
A'(t) = F(A(t))
где F(a) = const / sqrt(X'(a)^2 + Y'(a)^2 + Z'(a)^2)

Угу

[andrzejn]

До этого места и я додумал. Но вот можно ли как-то взять интеграл от правой части... Пусть даже в частном случае синусов. Не помню уже.

Re: Угу

[(Anonymous)]

Разделяем переменные и интегрируем
da/dt = F(a)
1/F(a)da = dt
integral(1/F(a)da) = integral(dt)
integral(sqrt(X'(a)^2 + Y'(a)^2 + Z'(a)^2)da) = const * t
Осталось найти интеграл в левой части
G(a(t)) = const * t
и взять обратную функцию к G.

[garkushev.livejournal.com]

Помочь уже, увы, не могу... Многое забылось.
Но как приятно было увидеть знакомые буковки! :)))