Теория вероятности

[andrzejn]

Перефразируем известную задачку про телешоу с призами.

Вы заходите в общественный туалет. Перед вами три кабинки, все двери одинаково прикрыты, но ни одна не заперта. Вы пытаетесь угадать, какая из кабинок свободна, и решаете начать с крайней левой. В этот момент из правой кабинки раздаётся вздох и журчание. Следует ли вам изменить решение и заглянуть сначала в среднюю кабинку?

Comments

[andrzejn]

И в чём разница?
Три двери, за одной - приз, одна из проигрышных дверей раскрывается после первого выбора.
Три кабинки, одна свободна, одна из занятых раскрывается после вервого выбора.

[lee-bey.livejournal.com]

Ну, если Вы точно знаете, что ровно две кабинки из трех свободны, то тогда...
Э, нет!!!! то, что в той задаче ведущий точно знал ответ и выбирал заведомо невыигрышный вариант --- влияет на априорные вероятности.

То есть, пусть H_1, H_2 и H_3 --- гипотезы "выигрышна первая кабинка", "выигрышна вторая кабинка", "выигрышна третья кабинка", --- соответственно.
A -- событие "кто-то демонстрирует, что третья кабинка невыигрышна"
Мы собираемся выбрать первую кабинку, надеясь, что она выигрышна.

В задаче с ведущим, который знает ответ, и демонстрирует, что третья кабинка невыигрышна, условные вероятности будут выглядеть следующим образом:
P(A|H_1)=1/2
P(A|H_2)=1 (--- вот в чем фишка!)
P(A|H_3)=0
при этом априорные вероятности P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=1/3

Итого, по формуле Байеса, апостриорная условная вероятность вычисляется как
P(H_1|A)=P(A|H_1)*P(H_1) / ( P(A|H_1)*P(H_1) + P(A|H_2)*P(H_2) + P(A|H_3)*P(H_3) ) = (1/2 * 1/3 ) / (1/2*1/3 + 1*1/3 + 0)
=(1/6) / (1/2) = 1/3
P(H_2|A) = P(A|H_2)*P(H_2) / ( P(A|H_1)*P(H_1) + P(A|H_2)*P(H_2) + P(A|H_3)*P(H_3) ) = (1 * 1/3 ) / (1/2*1/3 + 1*1/3 + 0) =2/3
P(H_3|A)=0

Если же ведущего нет, то
P(A|H_1)=1/2
P(A|H_2)=1/2 (--- вот в чем фишка!)
P(A|H_3)=0
при этом априорные вероятности P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=1/3
Отсюда, по той же формуле Байеса, апостриорные условные вероятности вычисляются как
P(H_1|A)=1/2
P(H_2|A)=1/2
P(H_3|A)=0

М?

[andrzejn]

Если мы слышим, что в одной из кабинок пукнули, то это эквивалентно ведущему, открывшему заведомо проигрышную дверь. Из пустой кабинки пукнуть заведомо не могут :)

Я в соседней ветке говорил, что для трёх дверей вырианты "две кабинки свободны" и "все кабинки заняты" не портят нам общее решение: в этих случаях изменение выбора не ухудшает нам вероятность (правда, и не улучшает)

[lee-bey.livejournal.com]

>Если мы слышим, что в одной из кабинок пукнули, то это эквивалентно ведущему, открывшему заведомо проигрышную дверь.
Нет. Потому что в игре с телеведущим он никогдаБ.иЮ не может открыть ту дверь, к которой подошли Вы.
То есть, чтобы сделать задачи эквивалентными, нужно ввести доп. условие:
есть такой народный обычай, что, когда человек сидит в туалете, если он слышит, что к его двери подошли, то затаивается и прилагает все усилия. чтобы не издать не звука.

Вот тогда да. Тогда задачи эквивалентны.
Тогда, если вы громко, не крадучись, подошли к первой кабинке, и вдруг услышали вздохи и журчания из третьей --- нужно ломиться во вторую, потому что если в первой кто и есть, он себя не выдаст. :-)

[lee-bey.livejournal.com]

Сорри, неправильно набрал закрывающий жирный таг. :-)

[lee-bey.livejournal.com]

Так как? согласны или нет с этим рассуждением?

А вообще --- огромное спасибо!
Как раз перед экзаменом по специальности хотел повторить теорему Байеса --- вдруг экзаменаторы спросят... :-)))

[lee-bey.livejournal.com]

То есть, вся фишка в том, что в случае с ведущим никогда бы вздох и журчание не донеслось бы из той двери, к которой Вы поднесли ногу :-)

[(Anonymous)]

P(A|H_1)=1/2
P(A|H_2)=1 (--- вот в чем фишка!)
P(A|H_3)=0


Машина (свободная кабинка) - одна. Поэтому сумма всех вероятностей по дверям не может быть 1,5, как у вас.

[lee-bey.livejournal.com]

Сорри, но вы спутали :-)
Это же условные вероятности --- при разных (разных!) гипотезах.
У них пространства событий разные.
Они даже одной сигма-алгебре не принадлежат. :-)